Значение числа p. Краткая история числа пи. Измерение с помощью взвешивания
Недавно на Хабре в одной статье упомянули про вопрос «Что было бы с миром, если бы число Пи равнялось 4?» Я решил слегка поразмышлять на эту тему, используя некоторые (пусть и не самые обширные) знания в соответствующих областях математики. Кому интересно – прошу под кат.
Чтобы представить такой мир, нужно математически реализовать пространство с иным соотношением длины окружности к ее диаметру. Это я и попытался сделать.
Попытка №1.
Оговорим сразу, что рассматривать я буду только двумерные пространства. Почему? Потому что окружность, собственно, определена в двумерном пространстве (если рассмотреть размерность n>2, то отношение меры (n-1)-мерной окружности к ее радиусу даже не будет константой).Так что для начала я попытался придумать хоть какое-то пространство, где Пи не равно 3.1415… Для этого я взял метрическое пространство с метрикой, в которой расстояние между двумя точками равно максимуму среди модулей разности координат (т.е. расстояние Чебышева).
Какой же вид будет иметь единичная окружность в этом пространстве? Возьмем точку с координатами (0,0) за центр этой окружности. Тогда множество точек, расстояние (в смысле заданной метрики) от которых до центра равно 1, есть 4 отрезка, параллельных осям координат, образующих квадрат со стороной 2 и с центром в нуле.
Да, в некоторой метрике это - окружность!
Посчитаем здесь Пи. Радиус равен 1, тогда диаметр, соответственно, равен 2. Можно также рассмотреть определение диаметра как наибольшего расстояния между двумя точками, но даже так оно равно 2. Осталось найти длину нашей «окружности» в данной метрике. Это сумма длин всех четырех отрезков, которые в данной метрике имеют длину max(0,2)=2. Значит, длина окружности равна 4*2=8. Ну а тогда Пи здесь равно 8/2=4. Получилось! Но нужно ли сильно радоваться? Результат этот практически бесполезен, ведь рассматриваемое пространство абсолютно абстрактно, в нем даже не определены углы и повороты. Вы можете представить себе мир, где по факту не определен поворот, и где окружностью является квадрат? Я пытался, честно, но у меня не хватило воображения.
Радиус равен 1, а вот с нахождением длины этой «окружности» есть некоторые сложности. После некоторых поисков информации в интернете, я пришел к выводу, что в псевдоевклидовом пространстве такое понятие как «число Пи» вообще не может быть определено, что, безусловно, плохо.
Если кто-нибудь в комментариях расскажет мне, как формально считать длину кривой в псевдоевклидовом пространстве, я буду очень рад, ибо моих познаний в дифференциальной геометрии, топологии (а также усердного гугления) для этого не хватило.
Выводы:
Не знаю, можно ли писать о выводах после таких не сильно продолжительных исследований, но кое-что сказать можно. Во-первых, попытавшись представить пространство с иным числом Пи, я понял, что оно будет слишком абстрактно, чтобы быть моделью реального мира. Во-вторых, когда если попытаться придумать более удачную модель (похожую на наш, реальный мир), выходит, что число Пи останется неизменным. Если принять за данность возможность отрицательного квадрата расстояния (что для обычного человека - просто абсурд), то Пи не будет определено вовсе! Все это и наводит на мысль, что, возможно, мира с другим числом Пи и вовсе быть не могло? Ведь не зря же Вселенная именно такая, какая она есть. А может быть, это и реально, только обычной математики, физики и человеческого воображения для этого недостаточно. А вы как считаете?Upd. Узнал точно. Длина кривой в псевдоевклидовом пространстве может быть определена только на каком-либо его евклидовом подпространстве. То есть, в частности, для получившейся в попытке N3 «окружности» вовсе не определено такое понятие как «длина». Соответственно, Пи там тоже посчитать нельзя.
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1. Актуальность работы.
В бесконечном множестве чисел, так же как среди звезд Вселенной, выделяются отдельные числа и целые их «созвездия» удивительной красоты, числа с необыкновенными свойствами и своеобразной, только им присущей гармонией. Надо только уметь увидеть эти числа, заметить их свойства. Всмотритесь в натуральный ряд чисел - и вы найдете в нем много удивительного и диковинного, забавного и серьезного, неожиданного и курьезного. Видит тот, кто смотрит. Ведь люди и в летнюю звездную ночь не заметят… сияние. Полярной звезды, если не направят свой взор в безоблачную высь.
Переходя из класса в класс я познакомился с натуральными, дробными, десятичными, отрицательными, рациональными. В этом году я изучил иррациональные. Среди иррациональных чисел есть особое число, точными вычислениями которого занимаются ученые уже много веков. Оно встретилось мне ещё в 6 классе при изучении темы «Длина окружности и площадь круга». Было акцентировано внимание на то, что довольно часто будем встречаться с ним на уроках в старших классах. Интересны были практические задания на нахождение числового значения числа π. Число π является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. Оно встречается в разных школьных дисциплинах. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.
Услышав об этом числе много интересного, я сам решил путём изучения дополнительной литературы и поиска в Интернете узнать как можно больше информации о нём и ответить на проблемные вопросы:
Как давно люди знали о числе пи?
Для чего необходимо его изучение?
Какие интересные факты с ним связаны
Верно ли, что значение пи равно приближённо 3,14
Поэтому, перед собой я поставил цель: исследовать историю числа π и значимость числа π на современном этапе развития математики.
Задачи:
Изучить литературу с целью получения информации об истории числа π;
Установить некоторые факты из «современной биографии» числа π;
Практическое вычисление приближенного значения отношения длины окружности к диаметру.
Объект исследования:
Объект исследования: Число ПИ.
Предмет исследования: Интересные факты, связанные с числом ПИ.
2. Основная часть. Удивительное число π.
Никакое другое число не является таким загадочным, как "Пи" с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Во многих областях математики и физики ученые используют это число и его законы.
Мало какому числу из всех чисел, которые используются в математике, в естественных науках, в инженерном деле и в повседневной жизни, уделяется столько внимания, сколько уделяется числу пи. В одной книге говорится: «Число пи захватывает умы гениев науки и математиков-любителей во всем мире» («Fractals for the Classroom»).
Его можно встретить в теории вероятностей, в решении задач с комплексными числами и прочих неожиданных и далеких от геометрии областях математики. Английский математик Август де Морган назвал как-то "пи" “…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу”. Это таинственное число, связанное с одной из трех классических задач Античности - построение квадрата, площадь которого равна площади заданного круга - влечет за собой шлейф драматических исторических и курьезных занимательных фактов.
Некоторые даже считают его одним из пяти важнейших чисел в математике. Но, как отмечается в книге «Fractals for the Classroom», при всей важности числа пи «трудно найти сферы в научных расчетах, где потребовалось бы больше двадцати десятичных знаков пи».
3. Понятие числа пи
Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра . Число π (произносится «пи» ) —математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».
В цифровом выражении π начинается как 3,141592 и имеет бесконечную математическую продолжительность.
4. История числа "пи"
Как считают специалисты, это число было открыто вавилонскими магами . Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни. Однако недостаточно точное исчисление значения Пи привело к краху всего проекта. Возможно, что эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного Храма царя Соломона.
История числа пи, выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9) 2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число p считали равным дроби (16/9) 2 , или 256/81 , т.е. π = 3,160...
В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число p в то время принимали равным, что даёт дробь 3,162... Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.
Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:
Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14 ;
Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71 .
По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7 , а это означает, что π = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653... В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...
В первой половине XV в. обсерватории Улугбека , возле Самарканда , астроном и математик ал-Каши вычислил пи с 16 десятичными знаками. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1" . Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.
Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число пи только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что пи можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое
значение, так как позволило вычислить пи с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.
День рождения числа “” .
Неофициальный праздник «День числа ПИ» отмечается 14 марта, которое в американском формате (день/ число) записывается как 3/14, что соответствует приближенному значению числа ПИ.
Существует и альтернативный вариант праздника - 22 июля. Он называется "День приближенного числа Пи". Дело в том, что представление этой даты в виде дроби (22/7) также дает в виде результата число Пи. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, дата и время совпадают с первыми разрядами числа π.
Интересные факты, связанные с числом “”
Ученые Токийского университета под руководством профессора Ясумаса Канада сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака. Для этого группе программистов и математиков понадобилась специальная программа, суперкомпьютер и 400 часов машинного времени. (Книга рекордов Гиннеса).
Германский король Фридрих Второй был настолько очарован эти числом, что посвятил ему …целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить ПИ. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО.
Как запомнить первые цифры числа “ ”.
Три первые цифры числа = 3,14… запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:
Нужно только постараться
И запомнить всё как есть:
Девяносто два и шесть.
С.Бобров. ”Волшебный двурог”
Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать 8 знаков числа :
В следующих фразах знаки числа можно определить по количеству букв в каждом слове:
“Что я знаю о кругах?” (3,1416);
“Вот и знаю я число, именуемое Пи. - Молодец!”
(3,1415927);
“Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать”
(3,14159265359)
5. Обозначение числа пи
Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом пи английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia" , что в переводе означает "окружность" . Введённое У.Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера , который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.
В конце XVIII в. А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число пи иррационально. Затем немецкий математик Ф.Линдеман , опираясь на исследования Ш.Эрмита , нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Поиски точного выражения пи продолжались и после работ Ф.Виета . В начале XVII в. голландский математик из КёльнаЛудольф ван Цейлен (1540-1610) (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа p с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа .
6. Как запомнить число "Пи" с точностью до одиннадцати знаков
Число "Пи" - это отношение длины окружности к ее диаметру, оно выражается бесконечной десятичной дробью. В обиходе нам достаточно знать три знака (3,14). Однако в некоторых расчетах нужна большая точность.
У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со времен Петра I они занимались геометрическими расчетами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле. Впоследствии сюда добавилась электротехника - там есть понятие "круговой частоты переменного тока". Для запоминания числа "Пи" было придумано двустишие (к сожалению, мы не знаем автора и места первой публикации его; но еще в конце 40-х годов двадцатого века московские школьники занимались по учебнику геометрии Киселева, где оно приводилось).
Двустишие написано по правилам старой русской орфографии, по которой послесогласной в конце слова обязательно ставился "мягкий" или "твердый" знак. Вот оно, это замечательное историческое двустишие:
Кто и шутя, и скоро пожелаетъ
"Пи" узнать число - ужъ знаетъ.
Тому, кто собирается в будущем заниматься точными расчетами, имеет смысл это запомнить. Так чему же равно число "Пи" с точностью до одиннадцати знаков? Сосчитай количество букв в каждом слове и напиши эти цифры подряд (первую цифру отдели запятой).
Такой точности уже вполне достаточно для инженерных расчетов. Кроме старинного существует и современный способ запоминания, на который указал в читатель, назвавшийся Георгием:
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.
Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять.»
Ну а математики с помощью современных компьютеров могут вычислить практически любое количество знаков числа "Пи".
7. Рекорд запоминания числа пи
Запомнить знаки пи человечество пытается уже давно. Но как уложить в память бесконечность? Любимый вопрос мнемонистов-профессионалов. Разработано множество уникальных теорий и приёмов освоения огромного количества информации. Многие из них опробованы на пи.
Мировой рекорд, установленный в прошлом столетии в Германии - 40 000 знаков. Российский рекорд значений числа пи 1 декабря 2003 года в Челябинске установил Александр Беляев. За полтора часа с небольшими перерывами на школьной доске Александр написал 2500 цифр числа пи.
До этого рекордным в России считалось перечислить 2000 знаков, что удалось сделать в 1999 году в Екатеринбурге. По словам Александра Беляева - руководителя центра развития образной памяти, такой эксперимент со своей памятью может провести любой из нас. Важно лишь знать специальные техники запоминания и периодически тренироваться.
Заключение.
Число пи появляется в формулах, используемых во многих сферах. Физика, электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство и навигация - это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому как нет конца знакам числа пи, так нет конца и возможностям практического применения этого полезного, неуловимого числа пи.
В современной математике число пи - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул.
Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа пи.
Точное значение числа π в современном мире представляет собой не только собственную научную ценность, но и используется для очень точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов), а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров.
В настоящее время с числом π связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их количество продолжает стремительно расти. Всё это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков.
Проведенная работа мне была интересной. Я хотел узнать об истории числа π, практическом применении и думаю, что достиг поставленной цели. Подводя итог работы, я прихожу к выводу, что данная тема актуальна. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению. В своей работе я подробнее познакомился с числом - одной из вечных ценностей, которой человечество пользуется уже много веков. Узнал некоторые аспекты его богатейшей истории. Выяснил, почему древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру. Посмотрел наглядно, какими способами можно получить число. На основе экспериментов вычислил приближенное значение числа различными способами. Провел обработку и анализ результатов эксперимента.
Любой школьник сегодня должен знать, что обозначает и чему приближенно равно число. Ведь у всех первое знакомство с числом, использование его при вычислении длины окружности, площади круга происходит в 6 классе. Но, к сожалению, эти знания остаются для многих формальными и уже через год - два мало кто помнит не только то, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей, но даже с трудом вспоминают численное значение числа, равное 3,14.
Я попробовал приподнять завесу богатейшей истории числа, которым человечество пользуется уже много веков. Самостоятельно составил презентацию к своей работе.
История чисел увлекательна и загадочна. Я хотел бы продолжить исследования других удивительных чисел в математике. Это станет объектом моих следующих исследовательских изучений.
Список литературы.
1. Глейзер Г.И. История математики в школе IV- VI классы. - М.: Просвещение, 1982.
2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики - М.: Просвещение, 1989.
3. Жуков А.В.Вездесущее число «пи». - М.: Едиториал УРСС, 2004.
4. Кымпан Ф. История числа «пи». - М.: Наука, 1971.
5. Свечников А.А. путешествие в историю математики - М.: Педагогика - Пресс, 1995.
6. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика - М.: Аванта +, 1998.
Интернетресурсы:
- http:// crow.academy.ru/ materials_/pi/history.htm
Http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/
Чему равно число Пи мы знаем и помним со школы. Оно равно 3.1415926 и так далее… Обычному человеку достаточно знать, что это число получается, если разделить длину окружности на ее диаметр. Но многим известно, что число Пи возникает в неожиданных областях не только математики и геометрии, но и в физике. Ну а если вникнуть в подробности природы этого числа, то можно заметить много удивительного среди бесконечного ряда цифр. Возможно ли, что Пи скрывает самые сокровенные тайны Вселенной?
Бесконечное число
Само число Пи возникает в нашем мире как длина окружности, диаметр которой равен единице. Но, несмотря на то, что отрезок равный Пи вполне себе конечен, число Пи начинается, как 3.1415926 и уходит в бесконечность рядами цифр, которые никогда не повторяются. Первый удивительный факт состоит в том, что это число, используемое в геометрии, нельзя выразить в виде дроби из целых чисел. Иначе говоря, вы не сможете его записать отношением двух чисел a/b. Кроме этого число Пи трансцендентное. Это означает, что нет такого уравнения (многочлена) с целыми коэффициентами, решением которого было бы число Пи.
То, что число Пи трансцендентно, доказал в 1882 году немецкий математик фон Линдеман. Именно это доказательство стало ответом на вопрос, можно ли с помощью циркуля и линейки нарисовать квадрат, у которого площадь равна площади заданного круга. Эта задача известна как поиск квадратуры круга, волновавший человечество с древнейших времен. Казалось, что эта задача имеет простое решение и вот-вот будет раскрыта. Но именно непостижимое свойство числа Пи показало, что у задачи квадратуры круга решения не существует.
В течение как минимум четырех с половиной тысячелетий человечество пыталось получить все более точное значение числа Пи. Например, В Библии в Третьей Книги Царств (7:23) число Пи принимается равным 3.
Замечательное по точности значение Пи можно обнаружить в пирамидах Гизы: соотношение периметра и высоты пирамид составляет 22/7. Эта дробь дает приближенное значение Пи, равное 3.142… Если, конечно, египтяне не задали такое соотношение случайно. Это же значение уже применительно к расчету числа Пи получил в III веке до нашей эры великий Архимед.
В папирусе Ахмеса, древнеегипетском учебнике по математике, который датируется 1650 годом до нашей эры, число Пи рассчитано как 3.160493827.
В древнеиндийских текстах примерно IX века до нашей эры наиболее точное значение было выражено числом 339/108, которое равнялось 3,1388…
После Архимеда почти две тысячи лет люди пытались найти способы рассчитать число Пи. Среди них были как известные, так и неизвестные математики. Например, римский архитектор Марк Витрувий Поллион, египетский астроном Клавдий Птолемей, китайский математик Лю Хуэй, индийский мудрец Ариабхата, средневековый математик Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, арабский ученый Аль-Хорезми, от чьего имени появилось слово «алгоритм». Все они и множество других людей искали наиболее точные методики расчета Пи, но вплоть до 15 века никогда не получали больше чем 10 цифр после запятой в связи со сложностью расчетов.
Наконец, в 1400 году индийский математик Мадхава из Сангамаграма рассчитал Пи с точностью до 13 знаков (хотя в двух последних все-таки ошибся).
Количество знаков
В 17 веке Лейбниц и Ньютон открыли анализ бесконечно малых величин, который позволил вычислять Пи более прогрессивно – через степенные ряды и интегралы. Сам Ньютон вычислил 16 знаков после запятой, но не упомянул это в своих книгах – об этом стало известно после его смерти. Ньютон утверждал, что занимался расчетом Пи исключительно от скуки.
Примерно в то же время подтянулись и другие менее известные математики, предложившие новые формулы расчета числа Пи через тригонометрические функции.
Например, вот по какой формуле рассчитывал Пи преподаватель астрономии Джон Мэчин в 1706 году: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). С помощью методов анализа Мэчин вывел из этой формулы число Пи с сотней знаков после запятой.
Кстати, в том же 1706 году число Пи получило официальное обозначение в виде греческой буквы: его в своем труде по математике использовал Уильям Джонс, взяв первую букву греческого слова «периферия», что означает «окружность». Родившийся в 1707 великий Леонард Эйлер популяризовал это обозначение, нынче известное любому школьнику.
До эры компьютеров математики занимались тем, чтобы рассчитать как можно больше знаков. В связи с этим порой возникали курьезы. Математик-любитель У. Шенкс в 1875 году рассчитал 707 знаков числа Пи. Эти семь сотен знаков увековечили на стене Дворца Открытий в Париже в 1937 году. Однако спустя девять лет наблюдательными математиками было обнаружено, что правильно вычислены лишь первые 527 знаков. Музею пришлось понести приличные расходы, чтобы исправить ошибку – сейчас все цифры верные.
Когда появились компьютеры, количество цифр числа Пи стало исчисляться совершенно невообразимыми порядками.
Один из первых электронных компьютеров ENIAC, созданный в 1946 году, имевший огромные размеры, и выделявший столько тепла, что помещение прогревалось до 50 градусов по Цельсию, вычислил первые 2037 знаков числа Пи. Этот расчет занял у машины 70 часов.
По мере совершенствования компьютеров наше знание числа Пи все дальше и дальше уходило в бесконечность. В 1958 году было рассчитано 10 тысяч знаков числа. В 1987 году японцы высчитали 10 013 395 знаков. В 2011 японский исследователь Сигеру Хондо превысил рубеж в 10 триллионов знаков.
Где еще можно встретить Пи?
Итак, зачастую наши знания о числе Пи остаются на школьном уровне, и мы точно знаем, что это число незаменимо в первую очередь в геометрии.
Помимо формул длины и площади окружности число Пи используется в формулах эллипсов, сфер, конусов, цилиндров, эллипсоидов и так далее: где-то формулы простые и легко запоминающиеся, а где-то содержат очень сложные интегралы.
Затем мы можем встретить число Пи в математических формулах, там, где, на первый взгляд геометрии и не видно. Например, неопределенный интеграл от 1/(1-x^2) равен Пи.
Пи часто используется в анализе рядов. Для примера приведем простой ряд, который сходится к числу Пи:
1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 — …. = PI/4
Среди рядов число Пи наиболее неожиданно появляется в известной дзета-функции Римана. Рассказать про нее в двух словах не получится, скажем лишь, что когда-нибудь число Пи поможет найти формулу расчета простых чисел.
И совершенно удивительно: Пи появляется в двух самых красивых «королевских» формулах математики – формуле Стирлинга (которая помогает найти приблизительное значение факториала и гамма-функции) и формуле Эйлера (которая связывает аж целых пять математических констант).
Однако самое неожиданное открытие ожидало математиков в теории вероятности. Там тоже присутствует число Пи.
Например, вероятность того, что два числа окажутся взаимно простыми, равна 6/PI^2.
Пи появляется в задаче Бюффона о бросании иглы, сформулированной в 18 веке: какова вероятность того, что брошенная на расчерченный лист бумаги игла пересечет одну из линий. Если длина иглы L, а расстояние между линиями L, и r > L то мы можем приблизительно рассчитать значение числа Пи по формуле вероятности 2L/rPI. Только представьте – мы можем получить Пи из случайных событий. И между прочим Пи присутствует в нормальном распределении вероятностей, появляется в уравнении знаменитой кривой Гаусса. Значит ли это, что число Пи еще более фундаментально, чем просто отношение длины окружности к диаметру?
Мы можем встретить Пи и в физике. Пи появляется в законе Кулона, который описывает силу взаимодействия между двумя зарядами, в третьем законе Кеплера, который показывает период обращения планеты вокруг Солнца, встречается даже в расположении электронных орбиталей атома водорода. И что опять же самое невероятное – число Пи прячется в формуле принципа неопределенности Гейзенберга – фундаментального закона квантовой физики.
Тайны числа Пи
В романе Карла Сагана «Контакт», по которому снят одноименный фильм, инопланетяне сообщают героине, что среди знаков Пи содержится тайное послание от Бога. С некоторой позиции цифры в числе перестают быть случайными и представляют себе код, в котором записаны все секреты Мироздания.
Этот роман на самом деле отразил загадку, занимающую умы математиков всей планеты: является ли число Пи нормальным числом, в котором цифры разбросаны с одинаковой частотой, или с этим числом что-то не так. И хотя ученые склоняются к первому варианту (но не могут доказать), число Пи выглядит очень загадочно. Один японец как то подсчитал, сколько раз встречаются числа от 0 до 9 в первом триллионе знаков Пи. И увидел, что числа 2, 4 и 8 встречаются чаще, чем остальные. Это может быть одним из намеков на то, что Пи не совсем нормальное, и цифры в нем действительно не случайны.
Вспомним всё, что мы прочли выше, и спросим себя, какое еще иррациональное и трансцендентное число так часто встречается в реальном мире?
А в запасе имеются еще странности. Например, сумма первых двадцати цифр Пи равна 20, а сумма первых 144 цифр равна «числу зверя» 666.
Главный герой американского сериала «Подозреваемый» профессор Финч рассказывал студентам, что в силу бесконечности числа Пи в нем могут встретиться любые комбинации цифр, начиная от цифр даты вашего рождения до более сложных чисел. Например, на 762-ой позиции находится последовательность из шести девяток. Эта позиция называется точкой Фейнмана в честь известного физика, который заметил это интересное сочетание.
Нам известно также, что число Пи содержит последовательность 0123456789, но находится она на 17 387 594 880-й цифре.
Все это означает, что в бесконечности числа Пи можно обнаружить не только интересные сочетания цифр, но и закодированный текст «Войны и Мира», Библии и даже Главную Тайну Мироздания, если таковая существует.
Кстати, о Библии. Известный популяризатор математики Мартин Гарднер в 1966 году заявил, что миллионным знаком числа Пи (на тот момент еще неизвестным) будет число 5. Свои расчеты он объяснил тем, что в англоязычной версии Библии, в 3-й книге, 14-й главе, 16-м стихе (3-14-16) седьмое слово содержит пять букв. Миллионную цифру получили спустя восемь лет. Это было число пять.
Стоит ли после этого утверждать, что число Пи случайно?
), а общепринятым оно стало после работ Эйлера . Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια - окружность, периферия и περίμετρος - периметр.
Оценки
- 510 знаков после запятой: π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…
Свойства
Соотношения
Известно много формул с числом π :
- Формула Валлиса:
- Тождество Эйлера :
- Т. н. «интеграл Пуассона » или «интеграл Гаусса »
Трансцендентность и иррациональность
Нерешенные проблемы
- Неизвестно, являются ли числа π и e алгебраически независимыми.
- Неизвестно, являются ли числа π + e , π − e , πe , π / e , π e , π π , e e трансцендентными.
- До сих пор ничего не известно о нормальности числа π ; неизвестно даже, какие из цифр 0-9 встречаются в десятичном представлении числа π бесконечное количество раз.
История вычисления
и Чудновского
Мнемонические правила
Чтобы нам не ошибаться, Надо правильно прочесть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть. Надо только постараться И запомнить всё как есть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть. Три, четырнадцать, пятнадцать, Девять, два, шесть, пять, три, пять. Чтоб наукой заниматься, Это каждый должен знать. Можно просто постараться И почаще повторять: «Три, четырнадцать, пятнадцать, Девять, двадцать шесть и пять.»
2. Подсчитайте количество букв в каждом слове в нижеприведенных фразах (без учета знаков препинания ) и запишите эти цифры подряд - не забывая про десятичную запятую после первой цифры «3», разумеется. Получится приближенное число Пи.
Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Кто и шутя, и скоро пожелаетъ Пи узнать число - ужъ знаетъ!
Вот и Миша и Анюта прибежали Пи узнать число они желали.
(Вторая мнемоническая запись верна (с округлением последнего разряда) только при использовании дореформенной орфографии : при подсчете количества букв в словах необходимо учитывать твердые знаки!)
Еще один вариант этой мнемонической записи:
Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.
Если соблюдать стихотворный размер, можно довольно быстро запомнить:
Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один
Забавные факты
Примечания
Смотреть что такое "Число пи" в других словарях:
число - Прие моч ное Источник: ГОСТ 111 90: Стекло листовое. Технические условия оригинал документа Смотри также родственные термины: 109. Число бетатронных колебаний … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах математика 1. Числом… … Толковый словарь Дмитриева
ЧИСЛО, числа, мн. числа, чисел, числам, ср. 1. Понятие, служащее выражением количества, то, при помощи чего производится счет предметов и явлений (мат.). Целое число. Дробное число. Именованное число. Простое число. (см. простой1 в 1 знач.).… … Толковый словарь Ушакова
Абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от… … Философская энциклопедия
Число - Число грамматическая категория, выражающая количественные характеристики предметов мысли. Грамматическое число одно из проявлений более обшей языковой категории количества (см. Категория языковая) наряду с лексическим проявлением («лексическое… … Лингвистический энциклопедический словарь
Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… … Энциклопедия Кольера
А; мн. числа, сел, слам; ср. 1. Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое ч. Чётное, нечётное ч. Считать круглыми числами (приблизительно, считая целыми единицами или десятками). Натуральное ч. (целое положительное … Энциклопедический словарь
Ср. количество, счетом, на вопрос: сколько? и самый знак, выражающий количество, цифра. Без числа; нет числа, без счету, многое множество. Поставь приборы, по числу гостей. Числа римские, арабские или церковные. Целое число, ·противоп. дробь.… … Толковый словарь Даля
ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… … Толковый словарь Ожегова
ЧИСЛО «Е» (ЕХР), иррациональное число, служащее основанием натуральных ЛОГАРИФМОВ. Это действительное десятичное число, бесконечная дробь, равная 2,7182818284590...., является пределом выражения (1/) при п, стремящемся к бесконечности. По сути,… … Научно-технический энциклопедический словарь
