Как называется фигура перевернутый конус. Геометрические тела. Конус. Смотреть что такое "Прямой круговой конус" в других словарях

) - тело в евклидовом пространстве , полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник , такой конус является пирамидой .

Энциклопедичный YouTube

1 / 4

✪ Как сделать конус из бумаги.

Субтитры

Связанные определения

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса .
Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой ) поверхностью конуса . Образующая поверхность конуса является конической поверхностью .
Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса .
Угол раствора конуса - угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым . При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .
Косой (наклонный ) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой конус - конус, основание которого является кругом.
Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой , содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
Конус, опирающийся на эллипс , параболу или гиперболу , называют соответственно эллиптическим , параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом , или коническим слоем .

Свойства

Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

V = 1 3 S H , {\displaystyle V={1 \over 3}SH,}

где S - площадь основания, H - высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , {\displaystyle 2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),} где α - угол раствора конуса.

Площадь боковой поверхности такого конуса равна

S = π R l , {\displaystyle S=\pi Rl,}

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания)

S = π R (l + R) , {\displaystyle S=\pi R(l+R),} где R - радиус основания, l = R 2 + H 2 {\displaystyle l={\sqrt {R^{2}+H^{2}}}} - длина образующей.

Объём кругового (не обязательно прямого) конуса равен

V = 1 3 π R 2 H . {\displaystyle V={1 \over 3}\pi R^{2}H.}

Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

V = 1 3 (H S 2 − h S 1) , {\displaystyle V={1 \over 3}(HS_{2}-hS_{1}),}

где S 1 и S 2 - площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H - расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях - эллипсом , параболой или гиперболой , в зависимости от положения секущей плоскости).

Уравнение конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ , вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz :

В сферической системе координат с координатами (r , φ, θ) :

θ = Θ . {\displaystyle \theta =\Theta .}

В цилиндрической системе координат с координатами (r , φ, z ) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ {\displaystyle z=r\cdot \operatorname {ctg} \Theta } или r = z ⋅ tg ⁡ Θ . {\displaystyle r=z\cdot \operatorname {tg} \Theta .}

В декартовой системе координат с координатами (x , y , z ) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ ctg ⁡ Θ . {\displaystyle z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {ctg} \Theta .} Это уравнение в каноническом виде записывается как

где константы a , с определяются пропорцией c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . {\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .} Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность ). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz ) её уравнение имеет вид

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением f (x , y , z) = 0 , {\displaystyle f(x,y,z)=0,} где функция f (x , y , z) {\displaystyle f(x,y,z)} является однородной , то есть удовлетворяющей условию f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) {\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)} для любого действительного числа α .

Развёртка

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h - высота конуса от центра основания до вершины - является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r - радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l - образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l . Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l , являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора φ {\displaystyle \varphi } в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r /l ) .

Рис. 1. Предметы из жизни, имеющие форму усеченного конуса

Как вы думаете, откуда в геометрии берутся новые фигуры? Все очень просто: человек в жизни сталкивается с похожими объектами и придумывает, как бы их назвать. Рассмотрим тумбу, на которой сидят львы в цирке, кусок морковки, который получается, когда мы нарезали только часть ее, действующий вулкан и, например, свет от фонарика (см. рис. 1).

Рис. 2. Геометрические фигуры

Мы видим, что все эти фигуры похожей формы - и снизу, и сверху они ограничены кругами, но они сужаются кверху (см. рис. 2).

Рис. 3. Отсечение верхней части конуса

Это похоже на конус. Только не хватает верхушки. Мысленно представим, что мы берем конус и отсекаем от него верхнюю часть одним взмахом острого меча (см. рис. 3).

Рис. 4. Усеченный конус

Получается как раз наша фигура, называется она усеченный конус (см. рис. 4).

Рис. 5. Сечение, параллельное основанию конуса

Пусть дан конус. Проведем плоскость, параллельную плоскости основания этого конуса и пересекающую конус (см. рис. 5).

Она разобьет конус на два тела: одно из них - конус меньшего размера, а второе и называется усеченным конусом (см. рис. 6).

Рис. 6. Полученные тела при параллельном сечении

Таким образом, усеченный конус - это часть конуса, заключенная между его основанием и параллельной основанию плоскостью. Как и в случае с конусом, усеченный конус может иметь в основании круг - в этом случае его называют круговым. Если исходный конус был прямым, то и усеченный конус называют прямым. Как и в случае с конусами, мы будем рассматривать исключительно прямые круговые усеченные конусы, если специально не указано, что речь идет о непрямом усеченном конусе или в его основаниях не круги.

Рис. 7. Вращение прямоугольной трапеции

Наша глобальная тема - тела вращения. Усеченный конус - не исключение! Вспомним, что для получения конуса мы рассматривали прямоугольный треугольник и вращали его вокруг катета? Если полученный конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то от треугольника останется прямоугольная трапеция. Ее вращение вокруг меньшей боковой стороны и даст нам усеченный конус. Заметим снова, что речь, разумеется, идет только о прямом круговом конусе (см. рис. 7).

Рис. 8. Основания усеченного конуса

Сделаем несколько замечаний. Основание полного конуса и круг, получающийся в сечении конуса плоскостью, называют основаниями усеченного конуса (нижним и верхним) (см. рис. 8).

Рис. 9. Образующие усеченного конуса

Отрезки образующих полного конуса, заключенные между основаниями усеченного конуса, называют образующими усеченного конуса. Так как все образующие исходного конуса равны и все образующие отсеченного конуса равны, то и образующие усеченного конуса равны (не путать отсеченный и усеченный!). Отсюда и следует равнобедренность трапеции осевого сечения (см. рис. 9).

Отрезок оси вращения, заключенный внутри усеченного конуса, называют осью усеченного конуса. Этот отрезок, разумеется, соединяет центры его оснований (см. рис. 10).

Рис. 10. Ось усеченного конуса

Высота усеченного конуса - это перпендикуляр, проведенный из точки одного из оснований к другому основанию. Чаще всего, в качестве высоты усеченного конуса рассматривают его ось.

Рис. 11. Осевое сечение усеченного конуса

Осевое сечение усеченного конуса - это сечение, проходящее через его ось. Оно имеет вид трапеции, чуть позже мы докажем ее равнобедренность (см. рис. 11).

Рис. 12. Конус с введенными обозначениями

Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса. Пусть основания усеченного конуса имеют радиусы и , а образующая равна (см. рис. 12).

Рис. 13. Обозначение образующей отсеченного конуса

Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса как разность площадей боковых поверхностей исходного конуса и отсеченного. Для этого обозначим через образующую отсеченного конуса (см. рис. 13).

Тогда искомая .

Рис. 14. Подобные треугольники

Осталось выразить .

Заметим, что из подобия треугольников , откуда (см. рис. 14).

Можно было бы выразить , разделив на разность радиусов, но нам это не нужно, ведь в искомом выражении как раз фигурирует произведение . Подставив вместо него , окончательно имеем: .

Несложно теперь получить и формулу для площади полной поверхности. Для этого достаточно добавить площади двух кругов оснований: .

Рис. 15. Иллюстрация к задаче

Пусть усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее высоты . Средняя линия трапеции равна , а большая боковая стороны - (см. рис. 15). Найти площадь боковой поверхности полученного усеченного конуса.

Решение

По формуле мы знаем, что .

Образующей конуса будет являться большая сторона исходной трапеции, то есть Радиусы конуса - это основания трапеции. Найти их мы не можем. Но нам и не надо: нужна лишь их сумма, а сумма оснований трапеции вдвое больше ее средней линии, то есть она равна . Тогда .

Обратите внимание, что, когда мы говорили о конусе, мы проводили параллели между ним и пирамидой - формулы были аналогичными. Так же и здесь, ведь усеченный конус очень похож на усеченную пирамиду, так что формулы для площадей боковой и полной поверхностей усеченного конуса и пирамиды (а скоро будут и формулы для объема) аналогичны.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Радиусы оснований усеченного конуса равны и , а образующая равна . Найти высоту усеченного конуса и площадь его осевого сечения (см. рис. 1).

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси (рис. 72). Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса , а отрезок, соединяющий их центры - высотой усеченного конуса .

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью , а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке изображен усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции АВСO вокруг стороны СO, перпендикулярной к основаниям АO и ВС (рис. 73). При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны АВ, а основания усеченного конуса - вращением оснований СВ и OА трапеции.

Рис. 73 Рис.74

Найдем формулу площади боковой поверхности усеченного конуса, зная радиусы r, r 1 оснований и образующую усеченного конуса l (рис. 74).

Площадь боковой поверхности усеченного конуса, это разность площадей большого конуса и маленького, образованного сечением.

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площади боковой поверхности, площади нижнего основания и площади верхнего основания

Введение

Рис. 1. Пред-ме-ты из жизни, име-ю-щие форму усе-чен-но-го ко-ну-са

Как вы ду-ма-е-те, от-ку-да в гео-мет-рии бе-рут-ся новые фи-гу-ры? Все очень про-сто: че-ло-век в жизни стал-ки-ва-ет-ся с по-хо-жи-ми объ-ек-та-ми и при-ду-мы-ва-ет, как бы их на-звать. Рас-смот-рим тумбу, на ко-то-рой сидят львы в цирке, кусок мор-ков-ки, ко-то-рый по-лу-ча-ет-ся, когда мы на-ре-за-ли толь-ко часть ее, дей-ству-ю-щий вул-кан и, на-при-мер, свет от фо-на-ри-ка (см. рис. 1).

Усеченный конус, его элементы и осевое сечение

Рис. 2. Гео-мет-ри-че-ские фи-гу-ры

Мы видим, что все эти фи-гу-ры по-хо-жей формы - и снизу, и свер-ху они огра-ни-че-ны кру-га-ми, но они сужа-ют-ся квер-ху (см. рис. 2).

Рис. 3. От-се-че-ние верх-ней части ко-ну-са

Это по-хо-же на конус. Толь-ко не хва-та-ет вер-хуш-ки. Мыс-лен-но пред-ста-вим, что мы берем конус и от-се-ка-ем от него верх-нюю часть одним взма-хом остро-го меча (см. рис. 3).

Рис. 4. Усе-чен-ный конус

По-лу-ча-ет-ся как раз наша фи-гу-ра, на-зы-ва-ет-ся она усе-чен-ный конус (см. рис. 4).

Рис. 5. Се-че-ние, па-рал-лель-ное ос-но-ва-нию ко-ну-са

Пусть дан конус. Про-ве-дем плос-кость, па-рал-лель-ную плос-ко-сти ос-но-ва-ния этого ко-ну-са и пе-ре-се-ка-ю-щую конус (см. рис. 5).

Она разо-бьет конус на два тела: одно из них - конус мень-ше-го раз-ме-ра, а вто-рое и на-зы-ва-ет-ся усе-чен-ным ко-ну-сом (см. рис. 6).

Рис. 6. По-лу-чен-ные тела при па-рал-лель-ном се-че-нии

Таким об-ра-зом, усе-чен-ный конус - это часть ко-ну-са, за-клю-чен-ная между его ос-но-ва-ни-ем и па-рал-лель-ной ос-но-ва-нию плос-ко-стью. Как и в слу-чае с ко-ну-сом, усе-чен-ный конус может иметь в ос-но-ва-нии круг - в этом слу-чае его на-зы-ва-ют кру-го-вым. Если ис-ход-ный конус был пря-мым, то и усе-чен-ный конус на-зы-ва-ют пря-мым. Как и в слу-чае с ко-ну-са-ми, мы будем рас-смат-ри-вать ис-клю-чи-тель-но пря-мые кру-го-вые усе-чен-ные ко-ну-сы, если спе-ци-аль-но не ука-за-но, что речь идет о непря-мом усе-чен-ном ко-ну-се или в его ос-но-ва-ни-ях не круги.

Рис. 7. Вра-ще-ние пря-мо-уголь-ной тра-пе-ции

Наша гло-баль-ная тема - тела вра-ще-ния. Усе-чен-ный конус - не ис-клю-че-ние! Вспом-ним, что для по-лу-че-ния ко-ну-са мы рас-смат-ри-ва-ли пря-мо-уголь-ный тре-уголь-ник и вра-ща-ли его во-круг ка-те-та? Если по-лу-чен-ный конус пе-ре-сечь плос-ко-стью, па-рал-лель-ной ос-но-ва-нию, то от тре-уголь-ни-ка оста-нет-ся пря-мо-уголь-ная тра-пе-ция. Ее вра-ще-ние во-круг мень-шей бо-ко-вой сто-ро-ны и даст нам усе-чен-ный конус. За-ме-тим снова, что речь, ра-зу-ме-ет-ся, идет толь-ко о пря-мом кру-го-вом ко-ну-се (см. рис. 7).

Рис. 8. Ос-но-ва-ния усе-чен-но-го ко-ну-са

Сде-ла-ем несколь-ко за-ме-ча-ний. Ос-но-ва-ние пол-но-го ко-ну-са и круг, по-лу-ча-ю-щий-ся в се-че-нии ко-ну-са плос-ко-стью, на-зы-ва-ют ос-но-ва-ни-я-ми усе-чен-но-го ко-ну-са (ниж-ним и верх-ним) (см. рис. 8).

Рис. 9. Об-ра-зу-ю-щие усе-чен-но-го ко-ну-са

От-рез-ки об-ра-зу-ю-щих пол-но-го ко-ну-са, за-клю-чен-ные между ос-но-ва-ни-я-ми усе-чен-но-го ко-ну-са, на-зы-ва-ют об-ра-зу-ю-щи-ми усе-чен-но-го ко-ну-са. Так как все об-ра-зу-ю-щие ис-ход-но-го ко-ну-са равны и все об-ра-зу-ю-щие от-се-чен-но-го ко-ну-са равны, то и об-ра-зу-ю-щие усе-чен-но-го ко-ну-са равны (не пу-тать от-се-чен-ный и усе-чен-ный!). От-сю-да и сле-ду-ет рав-но-бед-рен-ность тра-пе-ции осе-во-го се-че-ния (см. рис. 9).

От-ре-зок оси вра-ще-ния, за-клю-чен-ный внут-ри усе-чен-но-го ко-ну-са, на-зы-ва-ют осью усе-чен-но-го ко-ну-са. Этот от-ре-зок, ра-зу-ме-ет-ся, со-еди-ня-ет цен-тры его ос-но-ва-ний (см. рис. 10).

Рис. 10. Ось усе-чен-но-го ко-ну-са

Вы-со-та усе-чен-но-го ко-ну-са - это пер-пен-ди-ку-ляр, про-ве-ден-ный из точки од-но-го из ос-но-ва-ний к дру-го-му ос-но-ва-нию. Чаще всего, в ка-че-стве вы-со-ты усе-чен-но-го ко-ну-са рас-смат-ри-ва-ют его ось.

Рис. 11. Осе-вое се-че-ние усе-чен-но-го ко-ну-са

Осе-вое се-че-ние усе-чен-но-го ко-ну-са - это се-че-ние, про-хо-дя-щее через его ось. Оно имеет вид тра-пе-ции, чуть позже мы до-ка-жем ее рав-но-бед-рен-ность (см. рис. 11).

Площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса

Рис. 12. Конус с вве-ден-ны-ми обо-зна-че-ни-я-ми

Най-дем пло-щадь бо-ко-вой по-верх-но-сти усе-чен-но-го ко-ну-са. Пусть ос-но-ва-ния усе-чен-но-го ко-ну-са имеют ра-ди-у-сы и , а об-ра-зу-ю-щая равна (см. рис. 12).

Рис. 13. Обо-зна-че-ние об-ра-зу-ю-щей от-се-чен-но-го ко-ну-са

Най-дем пло-щадь бо-ко-вой по-верх-но-сти усе-чен-но-го ко-ну-са как раз-ность пло-ща-дей бо-ко-вых по-верх-но-стей ис-ход-но-го ко-ну-са и от-се-чен-но-го. Для этого обо-зна-чим через об-ра-зу-ю-щую от-се-чен-но-го ко-ну-са (см. рис. 13).

Тогда ис-ко-мая .

Рис. 14. По-доб-ные тре-уголь-ни-ки

Оста-лось вы-ра-зить .

За-ме-тим, что из по-до-бия тре-уголь-ни-ков , от-ку-да (см. рис. 14).

Можно было бы вы-ра-зить , раз-де-лив на раз-ность ра-ди-у-сов, но нам это не нужно, ведь в ис-ко-мом вы-ра-же-нии как раз фи-гу-ри-ру-ет про-из-ве-де-ние . Под-ста-вив вме-сто него , окон-ча-тель-но имеем: .

Неслож-но те-перь по-лу-чить и фор-му-лу для пло-ща-ди пол-ной по-верх-но-сти. Для этого до-ста-точ-но до-ба-вить пло-ща-ди двух кру-гов ос-но-ва-ний: .

Задача

Рис. 15. Ил-лю-стра-ция к за-да-че

Пусть усе-чен-ный конус по-лу-чен вра-ще-ни-ем пря-мо-уголь-ной тра-пе-ции во-круг ее вы-со-ты . Сред-няя линия тра-пе-ции равна , а боль-шая бо-ко-вая сто-ро-ны - (см. рис. 15). Найти пло-щадь бо-ко-вой по-верх-но-сти по-лу-чен-но-го усе-чен-но-го ко-ну-са.

Ре-ше-ние

По фор-му-ле мы знаем, что .

Об-ра-зу-ю-щей ко-ну-са будет яв-лять-ся боль-шая сто-ро-на ис-ход-ной тра-пе-ции, то есть Ра-ди-у-сы ко-ну-са - это ос-но-ва-ния тра-пе-ции. Найти их мы не можем. Но нам и не надо: нужна лишь их сумма, а сумма ос-но-ва-ний тра-пе-ции вдвое боль-ше ее сред-ней линии, то есть она равна . Тогда .

Сходство усеченных конуса и пирамиды

Об-ра-ти-те вни-ма-ние, что, когда мы го-во-ри-ли о ко-ну-се, мы про-во-ди-ли па-рал-ле-ли между ним и пи-ра-ми-дой - фор-му-лы были ана-ло-гич-ны-ми. Так же и здесь, ведь усе-чен-ный конус очень похож на усе-чен-ную пи-ра-ми-ду, так что фор-му-лы для пло-ща-дей бо-ко-вой и пол-ной по-верх-но-стей усе-чен-но-го ко-ну-са и пи-ра-ми-ды (а скоро будут и фор-му-лы для объ-е-ма) ана-ло-гич-ны.

Задача

Рис. 1. Ил-лю-стра-ция к за-да-че

Ра-ди-у-сы ос-но-ва-ний усе-чен-но-го ко-ну-са равны и , а об-ра-зу-ю-щая равна . Найти вы-со-ту усе-чен-но-го ко-ну-са и пло-щадь его осе-во-го се-че-ния (см. рис. 1).

Полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник , конус становится пирамидой .

"== Связанные определения ==

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса .
Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой ) поверхностью конуса . Образующая поверхность конуса является конической поверхностью .
Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса .
Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым . При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .
Косой (наклонный ) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой конус - конус, основание которого является кругом.
Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой , содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
Конус, опирающийся на эллипс , параболу или гиперболу , называют соответственно эллиптическим , параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом .

Свойства

Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

где - угол раствора конуса (то есть удвоенный угол между осью конуса и любой прямой на его боковой поверхности).

Площадь боковой поверхности такого конуса равна

где - радиус основания, - длина образующей.

Объем кругового конуса равен

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях - эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Обобщения

В алгебраической геометрии конус - это произвольное подмножество векторного пространства над полем , для которого для любого

См. также

Конус (топология)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Прямой круговой конус" в других словарях:

Прямой круговой конус. Прямой и … Википедия

Прямой круговой конус Конус тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих … Википедия

Конус - Прямой круговой конус. КОНУС (от латинского conus, от греческого konos шишка), геометрическое тело, ограниченное круглой конической поверхностью и плоскостью, не проходящей через вершину конической поверхности. Если вершина лежит на… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

- (лат. conus; греч. konos). Тело, ограниченное поверхностью, образующейся от обращения прямой, коей один конец неподвижен (вершина конуса), а другой двигается по окружности данной кривой; с виду похож на сахарную голову. Словарь иностранных слов,… … Словарь иностранных слов русского языка

КОНУС - (1) в элементарной геометрии геометрическое тело, ограниченное поверхностью, образуемой движением прямой (образующей конуса) через неподвижную точку (вершину конуса) вдоль направляющей (основание конуса). Образуемая поверхность, заключённая между … Большая политехническая энциклопедия

- (прямой круговой) геометрическое тело, образуемое вращениемпрямоугольного треугольника около одного из катетов. Гипотенузаназывается образующей; неподвижный катет высотой; круг, описываемыйвращающимся катетом основанием. Боковая поверхность К.… … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

- (прямой круговой К.) геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника около одного из катетов. Гипотенуза называется образующей; неподвижный катет высотой; круг, описываемый вращающимся катетом основанием. Боковая поверхность …

- (прямой круговой) геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника около одного из катетов. Гипотенуза называется образующей; неподвижный катет высотой; круг, описываемый вращающимся катетом основанием. Боковая поверхность К … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

- (лат. conus, от греч. konos) (математика), 1) К., или коническая поверхность, геометрическое место прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки некоторой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства.… … Большая советская энциклопедия